起重電機專業生產廠家無錫宏達2021年11月9日訊 塔式起重機在起升時，貨物的起升慣性力是導致起重臂振動的主要原因，此振動是起重機疲勞破壞的主要原因。因此，研究塔式起重機起升機構對起重臂的振動影響規律具有重要意義。文中分析了塔式起重機起吊貨物的特征，將其簡化為懸臂梁，再基于Euler-Bernoulli 梁理論建立移動質量—懸臂梁系統振動微分方程，最后仿真分析了起升運動和起重量對起重臂振動的影響規律。仿真結果表明：加速提升貨物時，加速度的增大導致起重臂振動的撓度和幅值增大；起升位置距離起重臂根部越遠，起重臂振動撓度、幅值和周期越大；起重量越大，起重臂振動撓度、幅值和周期越大。
關鍵詞：塔式起重機；起升運動；起重量；振動響應；仿真
中圖分類號：TH213.3 文獻標識碼：A 文章編號：1001-0785（2018）11-0123-04
0 引言隨著建筑行業的快速發展，塔式起重機（以下簡稱塔機）的作用越來越突出，塔機起升機構的合理使用將直接影響到其工作性能。目前，國內外學者對起升機構對起重機結構振動的影響規律進行了大量研究。MSPark[1] 基于具有高速提升機構的橋式起重機提出了一種自適應的防搖控制法；趙俊杰[2] 建立了橋式起重機起升系統的動力學微分方程，利用Matlab 研究分析了貨物起升、下降制動過程中的起升系統動力學特性；董杰[3]建立了門式起重機有限元模型，并利用瞬態動力學的方法對起重機在起升過程中的動態特性進行分析；強寶民[4] 以橋式起重機為研究對象，分析了起重機起吊貨物的瞬態工況。本文以小起升高度或附著式塔機為研究對象，將塔機簡化為懸臂梁，吊繩等效為剛性繩，分析貨物離地起升過程中塔機起重臂的振動特性。
1 移動質量—懸臂梁系統振動微分方程由于起升機構引起起重臂振動幅度相比于塔身振動幅度較大，且當貨物離地起升過程中，與貨物的質量相比，吊繩的質量可以忽略不計，故本文忽略塔身的變形，將起重機等效為懸臂梁，變幅小車等效為質點，吊鉤和貨物等效為移動質量，將吊繩等效為剛性無質量吊繩[5]，從而構成移動質量—懸臂梁系統，其示意圖如圖1 所示。以懸臂梁軸線方向為x 軸，以垂直于懸臂梁軸線的方向為y 軸，以懸臂梁的固定端點為坐標原點，建立xoy 直角坐標系，m a 為質點的質量，m b 為移動質量的質量，v為移動質量的速度，a 為移動質量的加速度，x a 為質點在懸臂梁上的位置，h 為懸臂梁的垂直高度，L 為懸臂梁的長度，E 為懸臂梁的彈性模量，I 為懸臂梁的截面慣性矩，m 為懸臂梁的單位長度質量，在t 時刻懸臂梁上x 處的撓度為y （x ，t ）。
基于Euler-Bernoulli 梁理論，不計梁的橫向剪切變形影響和阻尼作用，在外力F （x ，t ）作用下，梁的振動微分方程[6] 為
由于移動質量在垂直方向上運動的同時隨懸臂梁上下振動，故在動力學方程中應考慮移動質量的慣性力。因此，在任意時刻t ，作用在懸臂梁上的力F （x ，t ）為
式中：（x ，t ）為y（x ，t ）對時間t 的偏導數，g 為重力加速度，δ 為Dirac 函數。
將式（2）代入式（1）中得
由于質點在懸臂梁水平方向上的位置固定不變，且移動質量只在垂直方向上運動，所以質點和移動質量的振動加速度為
將式（4）帶入式（3）中得
由于懸臂梁的振動撓度y （x ，t ）對時間和空間是分離的，所以對式（5）采用分離變量法求解[7]，令
式中：φi（t ）為懸臂梁第i 階振型函數，qi（t）為懸臂梁第i 階模態坐標函數。將式（6）帶入式（5）中得
在式（7）中，用撇表示φi（x ）對x 求導，用點表示qi（t ）對時間t 求導。式（7）兩邊同時乘以φj（x ）（j ＝ 1，2，3，…，n ），對式（7）在區間[0 L ] 上對x 進行積分。根據振型函數的正交性，將其化簡為
式（8）為移動質量—懸臂梁系統的振動微分方程，將式（8）寫成矩陣的形式，即
式中： M ＝ diag｛Mj｝+（m a+m b）diag｛φj （x a）｝[φi （x a）]為質量矩陣，K ＝ diag｛Mjωj2｝為剛度矩陣，F ＝ [（m a+m b）g -m ba ]｛φ 1（x a），φ 2（x a），φ 3（x a），…，φn（x a）｝T 為廣義外力，｛q （t ）｝＝｛q 1，q 2，…，qn｝T 為模態坐標，其中，利用Matlab 計算出式（9）中的每一階振動模態坐標qi（t ），將求得的每一階模態坐標qi（t ）和每一階懸臂梁振型函數φi（x ）代入式（6）中，得到任意時刻懸臂梁上任意一點的撓度y （x ，t ）。
為懸臂梁的振型函數矩陣。
2 起升運動對起重臂的振動影響規律為了研究塔機運行機構的動力學特性和整機結構的振動特性，將TCICES1.0 型塔機以1:6 的比例設計制造出塔機實驗臺。實驗臺采用Q345 號鋼制造，彈性模量為2×1011 Pa，慣性矩為8.776×10-6 m4，起重臂長度為3.6m，單位長度質量為11 kg/m，起升高度為2.3 m，貨物和吊鉤總質量為25 kg，小車質量為5 kg。
2.1 起升加速度對起重臂的振動影響塔機提升貨物時，貨物的起升加速度是引起起重臂振動的主要原因。因此，為了分析起升加速度對起重臂振動的影響規律，根據式（9）仿真計算當起升位置x a為3 m，分別以0.1 m/s2、0.5 m/s2、1 m/s2 的起升加速度先加速后減速提升貨物時，起重臂端點的振動變化規律，起重臂端點的振動曲線如圖2 所示。由圖2 可以看出，加速提升貨物時，起重臂端點振動的撓度和幅值隨加速度的增加而增加，振動周期保持不變。所以，在施工作業過程中，控制起升運動的加速度可減小起重臂振動的幅值。
（a）提升加速度為0.1 m/s2 （b）提升加速度為0.5 m/s2 （c）提升加速度為1 m/s2圖2 在不同提升加速度狀態下起重臂的振動曲線圖
2.2 起升位置對起重臂的振動影響為了分析起升位置對起重臂的振動影響規律，根據式（9）分別仿真計算在距離起重臂臂根1 m、2 m、3m 處以1 m/s2 的加速度先加速后減速提升貨物時，起重臂端點的振動變化規律，仿真曲線如圖3 所示。由此可以看出，當加速提升貨物時，起升位置距離起重臂臂根處越遠，振動撓度、幅值和周期越大。經分析可知，選擇合適的起升位置既能減緩起重臂的振動，還可改變起重臂的振動頻率，避免起重臂結構和貨物產生共振現象。
（a）起升位置x a 為1 m （b）起升位置x a 為2 m （c）起升位置x a 為3 m圖3 起升位置x a 對起重臂的振動影響規律
（a）起重量為10 kg （b）起重量為20 kg （c）起重量為30 kg圖4 在不同起重量的情況下起重臂振動曲線圖
2.3 起重量對起重臂的振動影響規律為了分析起升過程中起重量對起重臂的振動影響規律，根據式（9）仿真計算在距離起重臂臂根3 m 處以1 m/s2 的加速度先加速后減速分別提升10 kg、20 kg 和25 kg 的貨物，起重臂端點的振動特性，振動曲線如圖4 所示。通過分析可知，起重臂端點的振動撓度和振動幅值以及振動周期都會隨起重量的增加而增加。
3 結論本文基于Euler-Bernoulli 梁理論建立移動質量—懸臂梁系統振動微分方程，分析了貨物離地起升過程中起重臂的振動特性。仿真結果表明：貨物加速提升時，起重臂端點振動的撓度和幅值隨加速度的增加而增加，振動周期保持不變；起升位置距離起重臂臂根處越遠，起重臂端點振動撓度、幅值和周期越大；起重臂端點的振動撓度和振動幅值以及振動周期隨起重量的增加而增加。
參考文獻[1] Park M S，Chwa D，Eom M.Adaptive Sliding-Mode Antisway Control of Uncertain Overhead Cranes With High-Speed Hoisting Motion[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2014，22(5)：1 262-1 271.[2] 趙俊杰，魯寨軍，周偉. 橋式起重機起升動力學系統的仿真[J]. 起重運輸機械，2013(9)：44-50.[3] 董杰，程文明，漆靜. 門式起重機起升過程動態特性研究[J]. 機械設計與制造，2014(6)：79-83.[4] 強寶民，吳俠，王江波，等. 起重機加速起吊重物瞬態動力學分析與實驗[J]. 科學技術與工程，2017，17(7)：157-162.[5] 謝偉平，黃金，周家玲，等. 重物- 橋吊耦合系統振動分析[J]. 振動與沖擊，2015，34(15)：127-132.[6] 秦仙蓉，張立冬，張氫，等. 移動質量- 梁耦合系統的動態響應分析[J]. 中國工程機械學報，2014，12(4)：283-286，341.[7] 張義民. 機械振動[M]. 北京：清華大學出版社，2007.
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